Question

（2003•十堰）如圖，ABCD為菱形，∠ABC=β，有一個半徑為r的⊙O，圓心O在菱形的內部，且到B點的距離為a，當圓心O在菱形內部運動時，⊙O的半徑和圓心到B點的距離a都發生變化．
（1）當滿足什么條件時，圓心O在菱形內部運動時⊙O與菱形的兩邊BA、BC（或BA、BC的延長線）都相切？
（2）當圓心O在菱形內部運動時，請你求出滿足什么條件時⊙O與菱形的兩邊BA、BC（或BA、BC的延長線）都相交、相離的所有情況．

Answer 1

【答案】分析：（1）當圓心O有可能在菱形的對角線上時：過O作OE⊥BA于E．
根據∠EBO與β的關系求出∠EBO的正弦值，然后根據半徑與正弦值的關系確定圓與直線的關系；
（2）當圓心O有可能在菱形的對角線上時：過O作OE⊥BA于E．
根據∠EBO與β的關系求出∠EBO的正弦值，然后根據半徑與正弦值的關系確定圓與直線的關系；
也有可能不在對角線上：過O作OG⊥BA于G，作OH⊥BC于H．
根據∠ABF和∠CBF與β的關系求出∠ABF和∠CBF的正弦值，然后根據半徑與正弦值的關系確定圓與直線的關系．
解答：解：（1）設圓心O是菱形ABCD對角線BD上任意一點，過O作OE⊥BA于E．
在Rt△OEB中，∠EBO=，OB=a，
sin∠EBO=sin==，
∴OE=asin．
當r=sin時，⊙O的圓心在BD上運動時⊙O與BA、BC（或BA、BC的延長線）都相切．

（2）①設⊙O的圓心在菱形ABCD對角線上運動時，
當r＞sin時，⊙O的圓心在BD上運動時⊙O與BA、BC（或BA、BC的延長線）都相交．
當r＜sin時，⊙O的圓心在BD上運動時⊙O與BA、BC（或BA、BC的延長線）都相離．
②設⊙O的圓心不在菱形ABCD對角線上運動時，
如圖，在菱形ABCD內任作BF，BF不是對角線，設∠ABF＞，則∠CBF＜，
設O為BF上任意一點，過O作OG⊥BA于G，作OH⊥BC于H，
在Rt△OGB中，sin∠ABF=，
∴OG=asin∠ABF．
在Rt△OHB中，sin∠CBF=，
∴OH=asin∠CBF．
當r＞sin∠ABF（∠ABF＞）時，⊙O的圓心在BF上運動時，⊙O與BA、BC（或BA、BC的延長線）都相交．
當r＜sin∠CBF（∠CBF＜）時，⊙O的圓心在BF上運動時，⊙O與BA、BC（或BA、BC的延長線）都相離．
點評：本題考查的是直線與圓的位置關系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系完成判定．