Question

已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，O為BC邊的中點，將-含30°角的直角三角板PQR放置到△ABC上，使得P點與O點重合，將三角板繞著O點旋轉，在旋轉過程中，PQ、PR分別與直線AB、AC交于點E、F：
（1）當PQ、PR分別與線段AB、AC交于點E、F時（如圖a），求證：∠BEO=∠COF；
（2）當PQ、PR分別與直線AB、AC交于點E、F時（如圖b、圖c），∠BEO與∠COF的大小關系是否改變？請直接寫出結論；
（3）在圖c中，連接EF，若AB=4，BE=，求CF的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠OPR=30°，
∴∠BPE+∠CPF=150°．
而∠BPE+∠BEP=150°，
∴∠CPF=∠BEP，即∠COF=∠BEO．

解：（2）∠BEO=∠COF不改變．

（3）連接AO，則AO⊥BC．
∴OB=ABcos30°=．
由（1）得∠COF=∠BEO，∠C=∠B，
∴△BOE∽△CFO．
∴，
∵OC=OB，
∴．
分析：（1）由已知可得∠B=∠C=30°，已知∠OPR=30°，根據角之間的關系，即可得到∠COF=∠BEO；
（2）連接AO，則AO⊥BC．
根據三角函數，可求得OB的長；
根據兩組對應邊的比相等，且相應的夾角相等的兩個三角形相似，得到△BOE∽△CFO，進一步得到對應邊比例，從而求得CF的長．
點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定及旋轉的性質等知識點的綜合運用．