Question

（2009•寧德）如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．
（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；
（2）連接FC，觀察并猜測∠FCN的度數，并說明理由；
（3）如圖（2），將圖（1）中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b為常數），E是線段BC上一動點（不含端點B、C），以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點G恰好落在射線CD上．判斷當點E由B向C運動時，∠FCN的大小是否總保持不變？若∠FCN的大小不變，請用含a、b的代數式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小發生改變，請舉例說明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形判定方法進行證明即可．
（2）作FH⊥MN于H．先證△ABE≌△EHF，得到對應邊相等，從而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度數就可以求得了．
（3）本題也是通過構建直角三角形來求度數，作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△BAE≌△DAG．

（2）解：∠FCN=45°，
理由是：作FH⊥MN于H，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，
∴△EFH≌△ABE，
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH，
∵∠FHC=90°，
∴∠FCN=45°．

（3）解：當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，
理由是：作FH⊥MN于H，
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
結合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射線CD上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，
∴EH=AD=BC=b，
∴CH=BE，
∴==；
在Rt△FEH中，tan∠FCN===，
∴當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，tan∠FCN=．
點評：本題考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知識點的綜合運用，其重點是通過證三角形全等或相似來得出線段的相等或成比例．