Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，AB=20cm，動點D由點C向點A以每秒1 cm速度在邊AC上運動，動點E由點C向點B以每秒cm速度在邊BC上運動，若點D，點E從點C同時出發，運動t秒(t>0)，聯結DE.

（1）求證：△DCE∽△BCA．

（2）設經過點D、C、E三點的圓為⊙P.

①當⊙P與邊AB相切時，求t的值.

②在點D、點E運動過程中，若⊙P與邊AB交于點F、G（點F在點G左側），聯結CP 并延長CP交邊AB于點M，當△PFM與△CDE相似時，求t的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②當與相似時，或.

【解析】

（1）由題意得：，由，，利用勾股定理求得，由；得出，又，則∽．

（2）①連結并延長交于點，利用直角三角形的斜邊中線得出為中點，，得出，利用∽，得出, 再利用角的等量替換得出 ，即，故⊙P與邊相切，利用三角函數求出DE,CE即可求出t；②由題意得解得,由①得,，，故,，,再根據相似三角形分情況討論即可求解.

（1）證明：由題意得：，∵，，；

∴，∵；

∴

又∵

∴∽．

（2）①連結并延長交于點，

∵，

∴DE是⊙的直徑

即為中點，

∴.

∴，∵∽，∴,

∵,∴

∴；

∵⊙P與邊相切，

∴點為切點， 為⊙的直徑，

∵解得，∴

得即.

②由題意得解得,由①得,，

∴,，,

∵

∴由與相似可得：

情況一：得解得：； 0＜≤9

情況二：得解得：； 0＜≤9

∴綜上所述：當與相似時. 或