Question

在8×8的正方形網格中建立如圖所示的平面直角坐標系，已知A（2，4），B（4，2）．點C是第一象限內的一個格點，由點C與線段AB組成一個以AB為底，且腰長為無理數的等腰三角形．
（1）畫出△ABC，點C的坐標是______，△ABC的面積是______；
（2）將△ABC繞點C旋轉180°得到△A₁B₁C，連接AB₁、BA₁，試判斷四邊形AB₁A₁B是何種特殊四邊形，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）作線段AB的垂直平分線，第一象限內有3個格點，符合條件的只有一個（1，1），再用割補法求得面積即可；
（2）延長AC、BC至點A₁、B₁，使A₁AC=AC，BC=BC₁，即可得到△A₁B₁C，再根據矩形的判定定理：對角線平分且相等的四邊形為矩形證得結論．
解答：解：（1）如圖，

S_△ABC=3×3-×2×2-×1×3-×1×3
=9-2-1.5-1.5
=4；
（2）∵AC=BC，A₁C=B₁C，BC=B₁C，AC=A₁C，

∴AA₁=B₁B，
∴四邊形AB₁A₁B是矩形（對角線平分且相等的四邊形為矩形）．
點評：本題考查了旋轉的性質，坐標與圖形的性質以及勾股定理，熟練掌握對角線平分且相等的四邊形為矩形是矩形的重要判定定理．