Question

如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的頂點A、B、C在小正方形的頂點上，將△ABC向下平移4個單位、再向右平移3個單位得到△A₁B₁C₁，然后將△A₁B₁C₁繞點A₁順時針旋轉90°得到△A₁B₂C₂．
（1）在網格中畫出△A₁B₁C₁和△A₁B₂C₂；
（2）計算線段AC在變換到A₁C₂的過程中掃過區域的面積（重疊部分不重復計算）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圖形平移及旋轉的性質畫出△A₁B₁C₁及△A₁B₂C₂即可；
（2）根據圖形平移及旋轉的性質可知，將△ABC向下平移4個單位AC所掃過的面積是以4為底，以2為高的平行四邊形的面積；再向右平移3個單位AC掃過的面積是以3為底以2為高的平行四邊形的面積；當△A₁B₁C₁繞點A₁順時針旋轉90°到△A₁B₂C₂時，A₁C₁所掃過的面積是以A₁為圓心以以2為半徑，圓心角為90°的扇形的面積，再減去重疊部分的面積，根據平行四邊形的面積及扇形面積公式進行解答即可．
解答：解：（1）如圖所示：

（2）∵圖中是邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格，
∴AC==2，
∵將△ABC向下平移4個單位AC所掃過的面積是以4為底，以2為高的平行四邊形的面積；再向右平移3個單位AC所掃過的面積是以4為底，以2為高的平行四邊形的面積；再向右平移3個單位AC掃過的面積是以3為底以2為高的平行四邊形的面積；當△A₁B₁C₁繞點A₁順時針旋轉90°到△A₁B₂C₂時，A₁C₁所掃過的面積是以A₁為圓心以2為半徑，圓心角為90°的扇形的面積，重疊部分是以A₁為圓心，以2為半徑，圓心角為45°的扇形的面積，
∴線段AC在變換到A₁C₂的過程中掃過區域的面積=4×2+3×2+-=14+π．
點評：本題考查的是旋轉變換及平移變換，扇形的面積公式，熟知圖形旋轉、平移不變性的特點是解答此題的關鍵．