Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+2x+c（a＞0）圖象的頂點M在反比例函數(shù)y=

3

x

上，且與x軸交于AB兩點．
（1）若二次函數(shù)的對稱軸為x=-

1

2

，試求a，c的值；
（2）在（1）的條件下求AB的長；
（3）若二次函數(shù)的對稱軸與x軸的交點為N，當NO+MN取最小值時，試求二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對稱軸x=-

b

2a

=-

1

2

，求得二次函數(shù)y=ax²+2x+c（a＞0）中的a，再根據(jù)頂點在反比例函數(shù)y=

3

x

上，求出c即可；
（2）求得拋物線與x軸的交點坐標，再用點B的橫坐標減去點A的橫坐標即可．
（3）可用含有a的式子表示點M、N的坐標，即求出a的值，再求得解析式．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)的對稱軸為x=-

1

2

，
∴-

2

2a

=-

1

2

，
解得a=2，
∵二次函數(shù)y=ax²+2x+c（a＞0）圖象的頂點M在反比例函數(shù)y=

3

x

上，
∴頂點為（-

1

2

，c-

1

2

），
∴

1

2

（c-

1

2

）=-3，
解得c=-

11

2

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=2x²+2x-

11

2

；

（2）∵二次函數(shù)的解析式為y=2x²+2x-

11

2

；
∴令y=0，2x²+2x-

11

2

=0；
解得x=

-1±2 3

2

．
∴AB=

-1+2 3

2

-

-1- 2 3

2

=2

3

；

（3）根據(jù)對稱軸x=-

1

a

，當x=-

1

a

時，y=-3a，
∴NO+MN=

1

a

+3a≥2

3a• 1 a

=2

3

，當3a=

1

a

時NO+MN最小，
 即3a²=1時，a=

3

3

，
∴c=0，
∴此時二次函數(shù)的解析式為y=

3

3

x²+2x．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有最值問題和兩點之間的距離等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想的運用，同學們要加強訓(xùn)練，屬于中檔題．