Question

如圖：在等腰△ABC中,AB=AC，AD上BC，垂足為D，以AD為直徑作⊙0，⊙0分別交AB、AC于E、F.

(1)求證：BE=CF；
(2)設AD、EF相交于G，若EF=8，BC=10,求⊙0的半徑．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）⊙O的半徑為5．

試題分析：（1）連接DE，DF，由AB=AC，且AD為BC邊上的高，利用三線合一得到D為BC的中點，AD為頂角平分線，再由AD為圓O的直徑，利用直角所對的角為直角得到一對直角相等，利用AAS得到三角形EBD與三角形FCD全等，由全等三角形的對應邊相等得到BE=CF，得證；
（2）由EB=CF，AB=AC，得出AE=AF，確定出AE：AB=AF：AC，且夾角相等，得到三角形AEF與三角形ABC相似，由相似三角形的對應邊成比例得到AG：AD=8：10，設AG=8x，AD=10x，連接OE，在直角三角形OEG中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出圓O的半徑．
試題解析：(1)連接DE、DF，
∵AB=AC,AD⊥BC，
∴∠B＝∠C,BD=CD，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
∴△DBE≌△DCF，
∴BE=CF；
(2)∵BE=CF，
∴AE=AF，
且∠BAC=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
∴設AG=8x,AD=10x，
連接EO，在Rt△OEG中，
∴OE²=OG²+EG²，
∴(5x)²=(3x)²+4²，
x=1，
∴5x=5，
∴⊙O的半徑為5．