Question

如圖，在直角坐標系內，O為坐標原點，點A的坐標為（1，0），點B在x軸上且在點A的右端，OA=AB，分別過點A、B作x軸的垂線，與二次函數y=x²的圖象交于C、D兩點，分別過點C、D作y軸的垂線，交y軸于點E、F，直線CD交y軸于點H．
（1）驗證：S_矩形OACE：S_梯形ECDF=2：9；
（2）如果點A的坐標改為（t，0）（t＞0），其他條件不變，（1）的結論是否成立？請說明理由．
（3）如果點A的坐標改為（t，0）（t＞0），二次函數改為y=ax²（a＞0），其他條件不變，記點C、D的橫坐標分別為x_C、x_D，點H的橫坐標為y_H，試證明：．

Answer 1

解：（1）∵點A的坐標為（1，0），
∴OA=1，C（1，1），
∴S_矩形OACE=1
∵OA=AB，
∴AB=1，
∴B（2，0），D（2，4）
∴S_梯形ECDF=4.5，
∴S_矩形OACE：S_梯形ECDF=1：4.5=2：9；

（2）（1）的結論仍然成立．
∵當A的坐標（t，0）（t＞0）時，點B的坐標為（2t，0），點C坐標為（t，t²），點D的坐標為（2t，4t²），
∴S_矩形OACE=t³，S_梯形ECDF=4.5t³，
∴S_矩形OACE：S_梯形ECDF=2：9

（3）由題意，當二次函數的解析式為y=ax²（a＞0），且點A坐標為（t，0）（t＞0）時，點C坐標為（t，at²），點D坐標為（2t，4at²），
設直線CD的解析式為y=kx+b，則：
，
解得：，
∴直線CD的函數解析式為y=3atx-2at²，則點H的坐標為（0，-2at²），y_H=-2at²．
∵x_C•x_D=2t²，
∴xC•xD=-y_H．

分析：（1）根據拋物線的解析式分別求出點C，點D的坐標，然后分別求出矩形OACE和矩形OBDF的面積就可以求出結論．
（2）根據點A的坐標及OA=AB就可以用含t的式子表示出B、C、D的坐標，在根據矩形的面積公式就可以分別求出矩形的面積從而求出結論．
（3）根據點A的坐標及OA=AB就可以用含t的式子表示出B、C、D的坐標，然后根據C、D兩點的坐標求出直線CD的解析式進而求出H點的坐標，然后可根據這些點的坐標進行求解即可；
點評：本題主要考查了二次函數的應用、一次函數解析式的確定、圖形面積的求法、函數圖象的交點等知識點．