Question

在每格寬度為12mm的橫格紙中，恰好一四邊形ABCD四個頂點都在橫格線上；設AB邊與直線l的夾角為a．

（1）如圖甲所示，四邊形ABCD為矩形，若α=36°，求矩形ABCD的長和寬．（精確到1mm）
（2）①如圖乙所示，若四邊形ABCD為正方形，求tanα的值．
②寫出圖乙中兩個有關P，Q的不同類型結論．（不另添加字母，不必證明）（參考數據：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80tan36°≈0.75）

Answer 1

【答案】分析：（1）作BE⊥l于點E，DF⊥l于點F，在RT△ABE及RT△AFD中分別利用三角形函數的知識即可得出矩形ABCD的長和寬．
（2）①作BG⊥l于點G，DH⊥l于點H，從而可證明出△AGB≌△DHA，得出AG=DH，再由tanα=即可得出答案．
②根據題意寫結論即可，例如可寫：P、Q分別是BC、AD的中點，四邊形BPDQ是平行四邊形．
解答：解：（1）作BE⊥l于點E，DF⊥l于點F，

由題意可知，BE=24mm，DF=48mm，
∵α+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠ADF=36°，
在RT△ABE中，AB===40mm，
在RT△ADF中，AD===60mm，
∴AB=40mm，AD=60mm．

（2）①分別過點B、D作BG⊥l于點G，BH⊥l于點H，
∵∠BGA=∠AHD=90°，∠GAB=∠HDA=α，AB=AD，
∴△BGA≌△AHD（AAS），
∴BG=AH，AG=DH，
∴tanα==．
②可寫：P、Q分別是BC、AD的中點；四邊形BPDQ是平行四邊形；RT△ABP≌RT△CDQ．
點評：此題考查了矩形的性質、正方形的性質、全等三角形的判定及性質，解答本題的關鍵是正確的作出輔助線，利用三角函數的知識進行解題，難度一般．