Question

點A（-1，0）B（4，0）C（0，2）是平面直角坐標系上的三點．
①如圖1，先過A、B、C作△ABC，然后在在x軸上方作一個正方形D₁E₁F₁G₁，使D₁E₁在AB上，F₁、G₁分別在BC、AC上；
②如圖2，先過A、B、C作圓⊙M，然后在x軸上方作一個正方形D₂E₂F₂G₂，使D₂E₂在x軸上，F₂、G₂在圓上；
③如圖3，先過A、B、C作拋物線l，然后在x軸上方作一個正方形D₃E₃F₃G₃，使D₃E₃在x軸上，F₃、G₃在拋物線上．
請比較正方形D₁E₁F₁G₁，正方形D₂E₂F₂G₂，正方形D₃E₃F₃G₃的面積大小．

Answer 1

【答案】分析：①如圖1，設正方形的邊長為a．根據相似三角形的性質可得關于a的方程，求得a的值，再根據正方形的面積公式求解；
②如圖2，設正方形的邊長為b．根據勾股定理的逆定理可得AB是⊙M的直徑，根據垂徑定理可得關于b的方程，求得b的值，再根據正方形的面積公式求解；
③如圖3，設正方形的邊長為c．根據待定系數法可得拋物線的解析式，由軸對稱可知F₃（+，c），代入拋物線的解析式可得關于c的方程，求得c的值，再根據正方形的面積公式求解．
再將三個正方形的面積進行比較即可求解．
解答：解：①如圖1，設正方形的邊長為a．
由△CG₁F₁∽△CAB得=，
解得a=，
則正方形D₁E₁F₁G₁的面積=；
②如圖2，設正方形的邊長為b．
∵點A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴AC²+BC²=5+20=25=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴AB是⊙M的直徑，
過M點作MN⊥F₂G₂，由垂徑定理得（）²+b²=（）²，
解得b²=5，即正方形D₂E₂F₂G₂的面積=5；
③如圖3，設正方形的邊長為c．
∵過A、B、C作拋物線l，設拋物線方程為y=ax²+bx+c，則
，
解得．
故拋物線方程為y=-x²+x+2，
由軸對稱可知F₃（+，c），代入得-×（+）²+×（+）+2=c，
解得c=-4，
∴正方形D₃E₃F₃G₃的面積=57-8．
∵＜5＜57-8，
∴正方形D₁E₁F₁G₁的面積＜正方形D₂E₂F₂G₂的面積＜正方形D₃E₃F₃G₃的面積．
點評：考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：相似三角形的性質，勾股定理的逆定理，垂徑定理，待定系數法求拋物線的解析式，軸對稱的性質，正方形的面積公式及面積的大小比較，綜合性較強．