Question

【題目】如圖是一個量角器和一個含30°角的直角三角板放置在一起的示意圖，其中點B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半圓O于點F，且BC=OE．

（1）求證：DE∥CF；

（2）當OE=2時，若以O，B，F為頂點的三角形與△ABC相似，求OB的長；

（3）若OE=2，移動三角板ABC且使AB邊始終與半圓O相切，直角頂點B在直徑DE的延長線上移動，求出點B移動的最大距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）或4（3）3

【解析】

試題分析：（1）先作輔助線，連接OF，證明四邊形OBCF是平行四邊形，得出DE∥CF；

（2）利用相似比求OB的長，

（3）由題意得到點B所在的兩個極值位置，求出點B移動的最大距離．

（1）證明：連接OF，

∵AB切半圓O于點F，OF是半徑，

∴∠OFB=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠OFB=∠ABC，

∴OF∥BC，

∵BC=OE，OE=OF，

∴BC=OF，

∴四邊形OBCF是平行四邊形，

∴DE∥CF；

（2）解：若△OBF∽△ACB，

∴=，

∴OB=，

∵∠A=30°，∠ABC=90°，BC=OE=2，

∴AC=4，AB=2．

又∵OF=OE=2，

∴OB==；

若△BOF∽△ACB，

∴=，

∴OB=，

∴OB==4；

綜上，OB=或4；

（3）解：畫出移動過程中的兩個極值圖，

由圖知：點B移動的最大距離是線段BE的長，

∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2，

∴點B移動的最大距離是線段BE的長為2．