Question

某課題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型：
直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最�。�解法：作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點即為P，且PA+PB的最小值為A′B．

請利用上述模型解決下列問題：
（1）幾何應用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為

10

；
（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值；
（3）代數應用：求代數式

x2+1

+

(4-x)2+4

（0≤x≤4）的最小值．

Answer 1

分析：（1）作點B關于AC的對稱點B′，連接B′E交AC于P，此時PB+PE的值最小．連接AB′，先根據勾股定理求出AB′的長，再判斷出∠B′AB=90°，根據勾股定理即可得出結論；
（2）作點B關于AC的對稱點B，過B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此時BM+MN的值最�。�通過證明△B′AB是等邊三角形，根據等邊三角形的性質求解；
（3）將求代數式

x2+1

+

(4-x)2+4

（0≤x≤4）的最小值轉化為軸對稱--最短路線問題．

解答：解：（1）如圖1所示，作點B關于AC的對稱點B′，連接B′E交AC于P，此時PB+PE的值最小．連接AB′．
AB′=AB=

AC2+BC2

=

22+22

=2

2

，
AE=

1

2

AB=

2

，
∵∠B′AC=∠BAC=45°，
∴∠B′AB=90°，
∴PB+PE的最小值=B′E=

B′A2+AE2

=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

．
故答案為：

10

；
     
（2）如圖2，作點B關于AC的對稱點B，過B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此時BM+MN的值最小．
BM+MN=B′N．
∵點B′與點B關于AC對稱
∴AB′=AB
又∵∠BAC=30°，
∴∠B′AB=60°，
∴△B′AB是等邊三角形
∴B′B=AB=2，∠B′BN=60°，
又∵B′N⊥AB，
∴B′N=B′B=

3

；

（3）構造圖形如圖3所示，
其中：AB=4，AC=1，DB=2，AP=x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．
∵PC+PD=

x2+1

+

(4-x)2+4

，
∴所求的最小值就是求PC+PD的最小值．
作點C關于AB的對稱點C′，過C′作C′E垂直DB的延長線于E．則C′E=AB=4，DE=2+1=3，C′D=

C′E2+DE2

=

42+32

=5
∴所求代數式的最小值是5．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，同時考查了勾股定理及等邊三角形的判定和性質，難度較大．