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某課題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型:
直線l同旁有兩個定點A、B,在直線l上存在點P,使得PA+PB的值最。夥ǎ鹤鼽cA關于直線l的對稱點A′,連接A′B,則A′B與直線l的交點即為P,且PA+PB的最小值為A′B.

請利用上述模型解決下列問題:
(1)幾何應用:如圖1,等腰直角三角形ABC的直角邊長為2,E是斜邊AB的中點,P是AC邊上的一動點,則PB+PE的最小值為
10
10
;
(2)幾何拓展:如圖2,△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小,求這個最小值;
(3)代數應用:求代數式
x2+1
+
(4-x)2+4
(0≤x≤4)的最小值.
分析:(1)作點B關于AC的對稱點B′,連接B′E交AC于P,此時PB+PE的值最小.連接AB′,先根據勾股定理求出AB′的長,再判斷出∠B′AB=90°,根據勾股定理即可得出結論;
(2)作點B關于AC的對稱點B,過B′作B′N⊥AB于N,交AC于M.此時BM+MN的值最。ㄟ^證明△B′AB是等邊三角形,根據等邊三角形的性質求解;
(3)將求代數式
x2+1
+
(4-x)2+4
(0≤x≤4)的最小值轉化為軸對稱--最短路線問題.
解答:解:(1)如圖1所示,作點B關于AC的對稱點B′,連接B′E交AC于P,此時PB+PE的值最小.連接AB′.
AB′=AB=
AC2+BC2
=
22+22
=2
2
,
AE=
1
2
AB=
2
,
∵∠B′AC=∠BAC=45°,
∴∠B′AB=90°,
∴PB+PE的最小值=B′E=
B′A2+AE2
=
(2
2
)2+(
2
)
2
=
10

故答案為:
10

     
(2)如圖2,作點B關于AC的對稱點B,過B′作B′N⊥AB于N,交AC于M.此時BM+MN的值最小.
BM+MN=B′N.
∵點B′與點B關于AC對稱
∴AB′=AB
又∵∠BAC=30°,
∴∠B′AB=60°,
∴△B′AB是等邊三角形
∴B′B=AB=2,∠B′BN=60°,
又∵B′N⊥AB,
∴B′N=B′B=
3
;

(3)構造圖形如圖3所示,
其中:AB=4,AC=1,DB=2,AP=x,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B.
∵PC+PD=
x2+1
+
(4-x)2+4
,
∴所求的最小值就是求PC+PD的最小值.
作點C關于AB的對稱點C′,過C′作C′E垂直DB的延長線于E.則C′E=AB=4,DE=2+1=3,C′D=
C′E2+DE2
=
42+32
=5
∴所求代數式的最小值是5.
點評:本題考查的是軸對稱-最短路線問題,同時考查了勾股定理及等邊三角形的判定和性質,難度較大.
練習冊系列答案
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(1)幾何應用:如圖1,等腰直角三角形ABC的直角邊長為2,E是斜邊AB的中點,P是AC邊上的一動點,則PB+PE的最小值為
 

(2)幾何拓展:如圖2,△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小,求這個最小值;
(3)代數應用:求代數式
x2+1
+
(4-x)2+4
(0≤x≤4)的最小值.

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(1)幾何應用:如圖1,等腰直角三角形ABC的直角邊長為2,E是斜邊AB的中點,P是AC邊上的一動點,則PB+PE的最小值為______;
(2)幾何拓展:如圖2,△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小,求這個最小值;
(3)代數應用:求代數式數學公式(0≤x≤4)的最小值.

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(1)幾何應用:如圖1,等腰直角三角形ABC的直角邊長為2,E是斜邊AB的中點,P是AC邊上的一動點,則PB+PE的最小值為______

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