Question

【題目】閱讀材料：我們都知道,

于是，-2x2+40x+5

=-2(x2-20x)+5

=-2(x2-20x+100)+200+5

=-2(x-10)2+205

又因為，所以，

所以，-2x2+40x+5有最大值205.

如圖，某農戶準備用長34米的鐵柵欄圍成一邊靠墻的長方形羊圈ABCD和一個邊長為1米的正方形狗屋CEFG.設AB=x米.

（1）請用含x的代數式表示BC的長（直接寫答案）；

（2）設山羊活動范圍即圖中陰影部分的面積為S，試用含x的代數式表示S，并計算當x=5時S的值；

（3）試求出山羊活動范圍面積S的最大值.

Answer 1

【答案】（1）BC=32-2x；（2）S=-2x2+32x-1，當x=5時，S=109米2；（3）山羊活動范圍ABGFE面積S的最大值是127平方米．

【解析】

（1）依題意得AB=DC=x，EF=FG=1，根據鐵柵欄總長為34米即可用x表示出BC的長；

（2）根據S=S長方形ABCD-S正方形CEFG列出S與x的函數關系式，進而求出當x=5時S的值；

（3）配方后根據完全平方式恒小于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．

（1）依題意得AB=DC=x，EF=FG=1，

∵AB+DC+BC+EF+FG=34，

∴2x+BC+2=34，

∴BC=32-2x；

（2）依題意得S=S長方形ABCD-S正方形CEFG=x（32-2x）-1=-2x2+32x-1，

當x=5時，S=-2×52+32×5-1=109（米2）；

（3）S=-2x2+32x-1=-2（x2-16x+64）+127=-2（x-8）2+127，

又因為-2＜0，

所以，（x-8）2≥0，-2（x-8）2≤0，-2（x-8）2+127≤127，

所以，山羊活動范圍ABGFE面積S的最大值是127平方米．