Question

如圖，小明畫了一個銳角△ABC，并作出了它的兩條高AD和BE，兩高相交于點P．小明說圖形中共有兩對相似三角形，他說的對嗎？請你判定一下，如果正確，就其中的一對進行說理．

Answer 1

解：小明的說法不正確，因為圖形中存在著四對相似三角形．
它們分別是：△CBE∽△CAD；△AEP∽△ADC；△BDP∽△BCE；△BDP∽△AEP．
證明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°，∠C+∠CBE=90°，
∴∠CAD=∠CBE，①
∵∠C為△CBE、△CAD的公共角，且∠CDA=∠CEB=90°，
∴△CBE∽△CAD；
∵①，∠AEP=∠BDP=90°，∠APE=∠BPD（對頂角相等），
∴△BDP∽△AEP；
同理由三角相等可證得：△AEP∽△ADC；△BDP∽△BCE．
分析：根據相似三角形的判定，圖中共有四對相似三角形：△CBE∽△CAD；△AEP∽△ADC；△BDP∽△BCE；△BDP∽△AEP，所以他的說法不正確．
點評：本題主要考查直角三角形相似的判定，已知一直角相等，只要其余兩角相等即可，比較簡單．