Question

【題目】如圖，直線y= x+1與y軸交于A點，過點A的拋物線y=﹣ x2+bx+c與直線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（3，0）．

（1）直接寫出拋物線的解析式；
（2）動點P在線段OC上從原點出發以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，設點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）設在（2）的條件下（不考慮點P與點O，點C重合的情況），連接CM，BN，當t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BC⊥x軸，垂足為點C，C（3，0），

∴B的橫坐標為3．

將x=3代入y= x+1得：y= ．

∴B（3， ）．

將x=0代入y= x+1得：y=1．

∴A（0，1）．

將點A和點B的坐標代入得： ，解得：b= ，c=1．

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+1

（2）

解：設點P的坐標為（t，0），則N（t，﹣ t2+ t+1），M（t， t+1）．

∴S=（﹣ t2+ t+1）﹣（ t+1）=﹣ t2+ t．（0＜t＜3）．

（3）

解：∵MN∥BC，

∴當MN=NB時，四邊形BCMN為平行四邊形．

∴﹣ t2+ t= ，解得t=1或t=2．

∴當t=1或t=2時，四邊形BCMN為平行四邊形．

當t=1時，M（1， ）．

依據兩點間的距離公式可知：MC= = ．

∴MN=MC．

∴四邊形BCMN為菱形．

當t=2時，M（2，2），則MC= = ．

∴MC≠MN．

∴此時四邊形BCMN不是菱形．

綜上所述，當t=1時，四邊形BCMN為菱形

【解析】（1）先求得點B和點A的坐標，然后將原點坐標，點A和點B的坐標代入拋物線的解析式求解即可；（2）設點P的坐標為（t，0），則N（t，﹣ t2+ t+1），M（t， t+1），然后依據MN等于M、N兩點的縱坐標之差可得到S與t的函數關系式；（3）已知MN∥BC，故此當MN=NB時，四邊形BCMN為平行四邊形，然后列出方程組求解即可；當MC=MN時，四邊形BCMN為菱形，然后分別將t=1和t=2代入求得點M的坐標，然后再求得MC的長，最后依據MC于是等于MN進行判斷即可．