Question

如圖，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點E，點M是的中點，OM交AC于點D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．
（1）求∠A的度數；
（2）求證：BC是⊙O的切線；
（3）求MD的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角函數的知識即可得出∠A的度數．
（2）要證BC是⊙O的切線，只要證明AB⊥BC即可．
（3）根據切線的性質，運用三角函數的知識求出MD的長度．
解答：（1）解：∵∠BOE=60°，
∴∠A=∠BOE=30°．（2分）

（2）證明：在△ABC中，∵cosC=，
∴∠C=60°．（1分）
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC．（2分）
∴BC是⊙O的切線．（3分）

（3）解：∵點M是的中點，
∴OM⊥AE．（1分）
在Rt△ABC中，∵BC=2，
∴AB=BC•tan60°=2×=6．（2分）
∴OA==3，
∴OD=OA=，
∴MD=．（3分）
點評：本題綜合考查了三角函數的知識、切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．