Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如圖的方式放置．點A1，A2，A3，…，An和點C1，C2，C3，…，Cn分別落在直線y＝x＋1和x軸上．拋物線L1過點A1，B1，且頂點在直線y＝x＋1上，拋物線L2過點A2，B2，且頂點在直線y＝x＋1上，…，按此規律，拋物線Ln過點An，Bn，且頂點也在直線y＝x＋1上，其中拋物線L2交正方形A1B1C1O的邊A1B1于點D1，拋物線L3交正方形A2B2C2C1的邊A2B2于點D2，…，拋物線Ln＋1交正方形AnBnCnCn－1的邊AnBn于點Dn(其中n≥2且n為正整數)．

(1)直接寫出下列點的坐標：B1________，B2________，B3________；

(2)寫出拋物線L2、L3的解析式，并寫出其中一個解析式求解過程，再猜想拋物線Ln的頂點坐標

(3)設A1D1＝k1·D1B1，A2D2＝k2·D2B2，試判斷k1與k2的數量關系并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)B1(1，1)，B2(3，2)，B3(7，4).（2）（， ）；（3）k1＝k2

【解析】試題解析：（1）由直線解析式可求得A1的坐標，由正方形的性質則可求得B1坐標，由題意可求得A2的橫坐標，則可求得其縱坐標，再利用正方形的性質可求得B2的坐標，同理可求得B3的坐標；

（2）由對稱性可求得拋物線的對稱軸，則可求得其頂點坐標，再結合已知點的坐標可求得拋物線解析式，可寫出L2、L3的解析式；利用An、Bn的變化規律，可求得拋物線Ln的頂點坐標；

（3）由拋物線L2的解析式可求得A1D1的長，則可求得k1，同理可求得k2，從而可求得兩者之間的數量關系．

試題解析：解：

（1）∵A1在直線y=x+1上，∴A1的坐標為（0，1），∴A1B1=OA1=1，∴B1（1，1），∴A2橫坐標為1，且在直線y=x+1上，∴A2（1，2），∴A2B2=A2C1=2，∴B2（3，2），同理B3（7，4），故答案為：（1，1）；（3，2）；（7，4）；

（2）拋物線L2、L3的解析式分別為y=﹣（x﹣2）2+3，y=﹣（x﹣5）2+6；

拋物線L2的解析式的求解過程如下：

對于直線y=x+1，設x=0，可得y=1，∴A1（0，1），∵四邊形A1B1C1O是正方形，∴C1（1，0），又點A2在直線y=x+1上，∴可得點A2（1，2），又∵B2的坐標為（3，2），∴拋物線L2的對稱軸為直線x=2，∴拋物線L2的頂點為（2，3），設拋物線L2的解析式為：y=a（x﹣2）2+3，∵L2過點B2（3，2），∴2=a×（3﹣2）2+3，解得a=﹣1，∴拋物線L2的解析式為y=﹣（x﹣2）2+3；

猜想拋物線Ln的頂點坐標為（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）．

證明如下：

由正方形AnBnCnCn﹣1頂點An，Bn的坐標規律為An（2n﹣1﹣1，2n﹣1）與Bn（2n﹣1，2n﹣1），∴拋物線Ln的對稱軸為直線x= =3×2n﹣2﹣1，又頂點在直線y=x+1上，∴y=3×2n﹣2，∴拋物線Ln的頂點坐標為（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）；

（3）k1與k2的數量關系為k1=k2．

理由如下：

由（2）得L2的解析式為y=﹣（x﹣2）2+3，當y=1時，1=﹣（x﹣2）2+3，解得x1= ，x2= ，∵0＜A1D1＜1，∴x=，∴A1D1== ，∴D1B1=1﹣（）= ，∴A1D1= D1B1，即k1=；

同理可求得A2D2= =，D2B2=2﹣（4﹣2 ）=2 ﹣2=2（），∴A2D2=D2B2，即k2=，∴k1=k2．