Question

如圖所示，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=8，BD=6．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)D做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線CB-BA向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)．
（1）菱形ABCD的邊長(zhǎng)為

 

；
（2）若點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？
（3）若點(diǎn)Q的速度為每秒a個(gè)單位長(zhǎng)（a≤

5

4

），當(dāng)t=4秒時(shí)，△APQ是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AC⊥BD，且AC與BD互相平分，再根據(jù)勾股定理即可求出菱形的邊長(zhǎng)；
（2）①當(dāng)0＜t≤

5

2

時(shí)，由題意，得AP=t，點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，由直角三角形的性質(zhì)求出BE的長(zhǎng)，由三角形的面積公式可得到S與t的關(guān)系式；
②當(dāng)

5

2

≤t＜5時(shí)，點(diǎn)Q在BA上運(yùn)動(dòng)，由題意，得AP=t，AQ=10-2t，過點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，則QG∥BE，可得出△AQG∽△ABE，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出S關(guān)于t的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行解答即可；
（3）先判斷出等腰三角形的兩腰長(zhǎng)，過點(diǎn)Q作QM⊥AP，垂足為點(diǎn)M，QM交AC于點(diǎn)F，根據(jù)△AMF∽△AOD∽△CQF，可得出FM的值，由QF=MQ-FM得出QF的值，進(jìn)而可得出a的值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且AC與BD互相平分，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OB=3，
∴AB=

OA2+OB2

=

42+32

=5；

（2）①當(dāng)0＜t≤

5

2

時(shí)，由題意，得AP=t，點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，
如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，
∵AC=8，BD=6，
∴

1

2

AD•BE=

1

2

AC•BD，
由題意可得BE=

24

5

，
∴S=

1

2

AP•BE，即S=

12

5

t；
②當(dāng)

5

2

≤t＜5時(shí)，點(diǎn)Q在BA上運(yùn)動(dòng)，
由題意，得AP=t，AQ=10-2t．
如圖2，過點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，則QG∥BE，
∴△AQG∽△ABE，
∴

QG

BE

=

QA

BA

，
∴QG=

48

5

-

48t

25

，
∴S=

1

2

AP•QG，
即S=-

24

25

t²+

24

5

t（

5

2

）（

5

2

≤t＜5）．（7分）
當(dāng)0≤t＜

5

2

時(shí)，S=

12

5

t•4
當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S的最大值為6；（8分）
當(dāng)

5

2

≤t＜5時(shí)，S=-

24

25

t²+

24

5

t，即S=-

24

25

（t-

5

2

）²+6．
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S的最大值為6．（9分）
綜上所述，當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S有最大值，最大值為6．（10分）

（3）a=

11

10

．
∵a≤

5

4

，
∴點(diǎn)Q在CB上，
由題意可知PQ≥BE＞PA，
∴當(dāng)QA=QP時(shí)，△APQ是等腰三角形．
如圖3，過點(diǎn)Q作QM⊥AP，垂足為點(diǎn)M，QM交AC于點(diǎn)F，
則AM=

1

2

AP=2．由△AMF∽△AOD∽△CQF，
得

FM

AM

=

QF

CQ

=

OD

AO

=

3

4

，
∴FM=

3

2

，
∴QF=MQ-FM=

33

10

，
∴CQ=

4

3

QF=

22

5

．
則

1×t

a•t

=

AP

CQ

，
∴a=

CQ

AP

=

11

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．