Question

如圖，在矩形ABCD中，BC=24cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止．
已知在相同時間內，若BQ=x cm（x≠0），則AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x²cm．
（1）當x為何值時，以P、N兩點重合？
（2）問Q、M兩點能重合嗎？若Q、M兩點能重合，則求出相應的x的值；若Q、M兩點不能重合，請說明理由．
（3）當x為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）P、N兩點重合，即AP+DN=AD=BC，聯立方程解答即可；
（2）當Q、M兩點重合時，即BQ+CM=BC，聯立方程解答，進一步利用DN驗證即可；
（3）把P、N兩點分兩種情況討論，點P在點N的左側或點P在點N的右側，進一步利用平行四邊形的性質聯立方程解答即可．

解答：解：（1）當點P與點N重合時，
由x²+2x=24，得x₁=4、x₂=-6（舍去）
所以x=4時點P與點N重合．

（2）當點Q與點M重合時，
由x+3x=24，得x=6
此時DN=x²=36≥24，不符合題意．
故點Q與點M不能重合．

（3）因為當N點到達A點時，x²=24，
解得：x=2

6

，
BQ=2

6

cm，CM=6

6

cm，
∵BQ+CM=8

6

＜24，
∴此時M點和Q點還未相遇，
所以點Q只能在點M的左側，
①如圖1，當點P在點N的左側時，
由24-（x+3x）=24-（2x+x²），
解得x₁=0（舍去），x₂=2；
當x=2時四邊形PQMN是平行四邊形；
②如圖2，當點P在點N的右側時，
由24-（x+3x）=（2x+x²）-24，
解得x₁=-3+

57

，x₂=-3-

57

（舍去）；
當x=-3+

57

時四邊形NQMP是平行四邊形；
綜上：當x=2或x=-3+

57

時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評：此題主要考查借助圖形的性質找出數量關系，聯立方程解決問題，并滲透分類討論思想．