Question

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂外切于點C，AB為兩圓外公切線，切點為A，B，若⊙O₁的半徑為1，⊙O₂的半徑為3，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A．4-π
B．4-π
C．8-π
D．8-π

Answer 1

【答案】分析：首先連接O₁A，O₂B，O₁O₂，過點O₁作O₁D⊥O₂B于點D，易求得O₁D的長，利用三角函數的知識求得∠O₂的度數，繼而可求得梯形與扇形的面積，則可求得答案．
解答：解：連接O₁A，O₂B，O₁O₂，過點O₁作O₁D⊥O₂B于點D，
∵⊙O₁與⊙O₂外切于點C，AB為兩圓外公切線，切點為A，B，⊙O₁的半徑為1，⊙O₂的半徑為3，
∴四邊形AO₁DB是矩形，
∴O₁A=BD，
∴O₁A=1，O₂B=3，O₁O₂=1+3=4，
∴O₂D=3-1=2，
∴O₁D==2，
∴tan∠O₂==，
∴∠O₂=60°，
∴∠AO₁O₂=180°-∠O₂=120°，
∴S_梯形ABO2O1=（O₁A+O₂B）•O₁D=×（1+3）×2=4，S_扇形AO1C=×π×1²=π，S_扇形BO2C=×π×3²=π，
∴S_陰影=S_梯形ABO2O1-S_扇形AO1C-S_扇形BO2C=4-π．
故選B．
點評：此題考查了相切兩圓的性質、梯形的性質、勾股定理以及三角函數的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．