Question

如圖，AB是⊙O的切線，切點為B，AO交⊙O于點C，過點C作DC⊥OA，交AB于點D，連接OB、OD．已知∠A=30°，⊙O的半徑為4．
（1）求BD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB是⊙O的切線，∠A=30°，可求得∠AOB的度數，又由DC⊥OA，根據切線長定理，可求得∠BOD的度數，繼而可求得BD的長；
（2）由S_陰影=S_△AOB-S_△ACD-S_扇形OBC；即可求得圖中陰影部分的面積．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的切線，
∴OB⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=90°-∠A=60°，
∵DC⊥OA，
∴CD是⊙O的切線，
∴∠BOD=∠AOB=30°，
∵⊙O的半徑為4，
即OB=4，
∴BD=OB•tan∠BOD=4×=；

（2）∵在Rt△AOB中，∠A=30°，OB=4，
∴AB==4，
∴AD=AB-BD=，
∵DC⊥OA，
∴CD=AD=，
∴AC==4，
∴S_陰影=S_△AOB-S_△ACD-S_扇形OBC=×4×4-×4×-=-π．
點評：此題考查了切線的性質、切線長定理、三角函數、扇形的面積以及勾股定理等知識．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．