Question

（2010•蕪湖）如圖，在平面直角坐標系中放置一矩形ABCO，其頂點為A（0，1）、B（-3，1）、C（-3，0）、O（0，0）．將此矩形沿著過E（-，1）、F（-，0）的直線EF向右下方翻折，B、C的對應點分別為B′、C′．
（1）求折痕所在直線EF的解析式；
（2）一拋物線經過B、E、B′三點，求此二次函數解析式；
（3）能否在直線EF上求一點P，使得△PBC周長最小？如能，求出點P的坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據E、F的坐標，設出直線式EF的解析式為y=kx+b，兩點坐標代入，求出k和b即可；
（2）過B′作B′A′⊥BA于A′，在Rt△B′EA′中，通過解直角三角形可求出A′E、A′B′的長，通過證A′E=AE，得出B′在y軸上的結論，從而得出B′坐標，進而用待定系數法求出拋物線的解析式；
（3）連接B′C，由于B、B′關于EF所在直線對稱，則B′C與折痕的交點即為所求的P點，可求出直線B′C的解析式，聯立折痕EF的解析式即可求出P點坐標．
解答：解：（1）由于折痕所在直線EF過E（-，1）、F（-，0），則有：
∴設直線EF的解析式為y=kx+b，
∴；
解得k=，b=4，
所以直線EF的解析式為：y=x+4．

（2）設矩形沿直線EF向右下方翻折后，B、C的對應點為B′（x₁，y₁），C′（x₂，y₂）；
過B′作B′A′⊥AE交AE所在直線于A′點；
∵B′E=BE=2，∠B′EF=∠BEF=60°，
∴∠B′EA′=60°，
∴A′E=，B′A′=3；
∴A與A′重合，B′在y軸上；
∴x₁=0，y₁=-2，
即B′（0，-2）；【此時需說明B′（x₁，y₁）在y軸上】．
設二次函數解析式為：y=ax²+bx+c，拋物線過B（-3，1）、E（-，1）、B′（0，-2）；
得到，
解得
∴該二次函數解析式y=-x²-x-2；

（3）能，可以在直線EF上找到P點；
連接B′C交EF于P點，再連接BP；
由于B′P=BP，此時點P與C、B′在一條直線上，故BP+PC=B′P+PC的和最小；
由于BC為定長，所以滿足△PBC周長最小；
設直線B′C的解析式為：y=kx+b，則有：
，
解得；
∴直線B′C的解析式為：y=-x-2；
又∵P為直線B′C和直線EF的交點，
∴，
解得；
∴點P的坐標為（-，-）．
點評：此題主要考查了一次函數、二次函數解析式的確定，軸對稱圖形的性質、函數圖象交點等知識，難度偏大．