Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=10，AD=6，DC=8，BC=12，點E在底邊BC上，點F在AB上。

（1）若EF平分直角梯形ABCD的周長，設(shè)BE的長為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；
（2）是否存在線段EF將直角梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；
（3）若線段EF將直角梯形ABCD的周長分為1：2兩部分，將△BEF的面積記為S₁，五邊形AFECD的面積記為S₂，且S₁：S₂=k，求出k的最大值。

Answer 1

解：（1）由已知得梯形周長=36，高=8，面積=72， 由題意，BF=18-x， 過點F作FG⊥BC于點G，過點A作AK⊥BC于點K，則△BF∽△BAK，可得FG=；
（2）不存在； 由（1），整理得：（x-9）2=-9，此方程無解， 不存在線段EF將直角梯形ABCD的周長和面積同時平分；
（3）由已知易知，線段EF將直角梯形ABCD的周長分為1：2兩部分， 只能是FB+BE與FA+AD+DC+CE的比是1：2， ，要使k取最大值，只需S1取最大值， 與（1）同理，，， 當(dāng)x=6時，S1取最大值，此時k=，∴k的最大值是。