Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于兩點A（1，0）、B（3，0），與y軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線是否存在一點P，使得△BDP是以BD為斜邊的直角三角形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點M，過M作MN⊥x軸于點N，使以A、M、N為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，則求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求出二次函數解析式即可；
（2）過P作x軸的平行線交Y軸于E點，過B點作X軸的垂線交EP的延長線于F點，利用三角形相似得出P點的坐標；
（3）利用△AMN∽△CDB，當N在A點左邊時，當N在A點右邊時，當N在A點右邊時，當N在A點左邊時分別得出即可．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于兩點A（1，0）、B（3，0），
∴0=a+b-3，0=9a+3b-3，
解得：a=-1，b=4，
∴y=-x²+4x-3；

（2）如圖1，過P作x軸的平行線交Y軸于E點，過B點作X軸的垂線交EP的延長線于F點，
設P（t，-t²+4t-3），當P點在第一象限時，則DE=-t²+4t，PF=3-t，PE=t，BF=-t²+4t-3，
可證△DEP∽△PFB，，，
可求得，
所以P（，），
同理，當P點在第四象限時，可求得P（，）；

（3）如圖2，設N（m，0）則M（m，-m²+4m-3），MN=m²-4m+3
若△AMN∽△CDB，，
當N在A點左邊時AN=1-m，，
m=0或m=1（舍），所以M（0，-3），
當N在A點右邊時AN=m-1，，
m=6或m=1（舍），所以M（6，-15），
若△MAN∽△CDB，，
當N在A點左邊時AN=1-m，，
m=（舍）或m=1（舍），所以此時M不存在，
當N在A點右邊時AN=m-1，，
m=或m=1（舍），
所以M（，），
綜上M₁（0，-3）M₂（6，-15）M₃（，）．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用，（2）（3）小題中，都用到了分類討論的數學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．