Question

如圖AF是⊙O的直徑，以O(shè)A為直徑的⊙C與⊙O的弦AB相交于點D，DE⊥OB，垂足為E，求證：
（1）D是AB的中點；
（2）DE是⊙C的切線；
（3）BE•BF=2AD•ED．

Answer 1

證明：（1）連接OD，
∵OA是⊙C的直徑，
∴∠ADO=90°，
∵AB是⊙O的弦，OD是弦心距，
∴AD=BD，
即D是AB的中點；

（2）連接CD，
∵C、D分別為AO，AB的中點，
∴CD∥OB，
∵DE⊥OB，
∴DE⊥CD，
∴DE為⊙C的切線；

（3）連接BF，
∵AF是⊙O的直徑，
∴∠ABF=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
又∵∠BED=90°，
∴△ABF∽△BED，
∴

AB

BE

=

BF

ED

，
∴BE•BF=AB•ED，
∵AB=2AD，
∴BE•BF=2AD•ED．