Question

以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABF和ADE，連接EB、FD，交點(diǎn)為G．

（1）當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)（如圖1），EB和FD的數(shù)量關(guān)系是______；
（2）當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)（如圖2），EB和FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請加以證明；
（3）四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中，∠EGD是否發(fā)生變化？如果改變，請說明理由；如果不變，請?jiān)趫D3中求出∠EGD的度數(shù)．

Answer 1

（1）EB=FD，
理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，
∵以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABF和ADE，
∴AF=AE，∠FAB=∠EAD=60°，
∵∠FAD=∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°，
∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+60°=150°，
∴∠FAD=∠BAE，
在△AFD和△ABE中，
，
∴△AFD≌△ABE，
∴EB=FD；
（2）EB=FD．
證：∵△AFB為等邊三角形
∴AF=AB，∠FAB=60°
∵△ADE為等邊三角形，
∴AD=AE，∠EAD=60°
∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD，
即∠FAD=∠BAE
∴△FAD≌△BAE
∴EB=FD；
（3）解：∵△ADE為等邊三角形，
∴∠AED=∠EDA=60°
∵△FAD≌△BAE，
∴∠AEB=∠ADF，
設(shè)∠AEB為x°，則∠ADF也為x°
于是有∠BED為（60-x）°，∠EDF為（60+x）°，
∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF
=180°-（60-x）°-（60+x）°=60°．
分析：（1）EB=FD，利用正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法可證明△AFD≌△ABE，由全等三角形的性質(zhì)即可得到EB=FD；
（2）當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，EB和FD仍舊相等，證明的思路同（1）；
（3）四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中，∠EGD是不發(fā)生變化，是一定值為60°．
點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng)，難度也不小，解題的關(guān)鍵是對特殊幾何圖形的性質(zhì)要準(zhǔn)確掌握．