Question

已知二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c均為實數且a≠0）滿足條件：對任意實數x都有y≥2x；且當0＜x＜2時，總有y≤成立．
（1）求a+b+c的值；
（2）求a-b+c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題干給出的條件可知兩個條件都滿足可以發現二次函數經過一個定點．就可以求出答案；
（2）根據判別式和圖象法，就能求出取值范圍．
解答：解：（1）由題意可知對任意實數x都有y≥2x，
∴當x=1時，y≥2；
且當0＜x＜2時，總有y≤成立，
故當x=1，y≤2，
∴當x=1時，y=2，故二次函數y=ax²+bx+c經過（1，2）點，
∴a+b+c=2；

（2）ax²+bx+c≥2x，
ax²+（b-2）x+c≥0，
由（1）知b=2-a-c，代入得△=（a+c）²-4ac≥0，（a-c）²≥0，
所以c=a，b=2-2a．
再列得ax²+bx+c≤（x+1）²，把c=a，b=2-2a代入可得 （a-）x²-2（a-）x+a-≤0，（a-）（x-1）²≤0，
因為0＜x＜2，（x-1）≥0，
故a≤．
根據圖象法可得此拋物線要永遠在y=2x這條一次函數上方滿足a＞0．
綜上所述，a的取值范圍是0＜a≤，a-b+c=4a-2，把a的取值范圍代入可得-2＜a-b+c≤0．
點評：本題主要考查二次函數的性質，以及函數的圖象問題，這是一道思維性很強的題，有很多同學思考不到位．