Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，現將一塊邊長足夠大的直角三角板的直角頂點置于AB的中點O，兩直角邊分別經過點B、C，然后將三角板繞點O按順時針方向旋轉一個角度α（0°＜α＜90°），旋轉后，直角三角板的直角邊分別與AC、BC相交于點K、H，四邊形CHOK是旋轉過程中三角板與△ABC的重疊部分（如圖所示），那么，在上述旋轉過程中：
（1）線段BH與CK具有怎樣的數量關系？四邊形CHOK的面積是否發生變化？證明你發現的結論；
（2）連接HK，設BH=x．當△CKH的面積為時，求出x的值．

Answer 1

解：（1）線段BH=CK；四邊形CHOK的面積等于4．理由如下：
連結OC，如圖，
∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠B=45°，
∵點O為AB的中點，
∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，
∵三角板繞點O按順時針方向旋轉一個角度α（0°＜α＜90°），直角三角板的直角邊分別與AC、BC相交于點K、H，
∴∠COK=∠BOH=α，
∵在△COK和△BOH中，

∴△COK≌△BOH，
∴CK=BH，S_△COK=S_△BOH，
∴四邊形CHOK的面積=S_△COB=S_△ABC=×4×4=4；

（2）∵BH=x，
∴CK=x，CH=4-x，
∴x（4-x）=，
解得x₁=1，x₂=3，
∴x的值為1或3．
分析：（1）連結OC，由于∠ACB=90°，AC=BC=4，根據等腰直角三角形的性質得∠B=95°，再根據O為AB的中點得到OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，根據旋轉的性質得∠COK=∠BOH=α，于是可根據“SAS”判斷△COK≌△BOH，所以CK=BH，S_△COK=S_△BOH，則可計算出四邊形CHOK的面積=S_△COB=S_△ABC=4；
（2）利用CK=BH，則CK=x，CH=4-x，根據三角形面積公式得到∴x（4-x）=，然后解一元二次方程即可．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等腰直角三角形的性質以及三角形全等的判定與性質．