Question

如圖，已知在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上的點，且EA=EC．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求證：四邊形ABCD是正方形．

Answer 1

分析：（1）首先根據平行四邊形的性質可得AO=CO=

1

2

AC，再由EA=EC可得△EAC是等腰三角形，根據等腰三角形的三線合一的性質可得DO⊥AC，根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可證出結論；
（2）首先根據角的關系證明AO=DO，進而得到AC=BD，再根據對角線相等的菱形是正方形可得到結論．

解答：證明；（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO=

1

2

AC，
∵EA=EC，
∴EO⊥AC，
即BD⊥AC，
∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）∵∠1=∠EAD+∠AED，∠DAC=∠EAD+∠AED，
∴∠1=∠DAC，
∴AO=DO，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC=2AO，DB=2DO，
∴AC=BD，
∴四邊形ABCD是正方形．

點評：此題主要考查了菱形的判定與正方形的判定，關鍵是掌握正方形的判定方法①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角．