Question

已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點，BP與⊙O交于點C．
（1）如圖①，若AB=2，∠P=30°，求AP的長（結果保留根號）；
（2）如圖②，若D為AP的中點，求證：直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證PA⊥AB，再通過解直角三角形求解；
（2）本題連接OC，證出OC⊥CD即可．首先連接AC，得出直角三角形ACP，根據直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半得CD=AD，再利用等腰三角形性質可證∠OCD=∠OAD=90°，從而解決問題．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，AP是切線，
∴∠BAP=90°．
在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，
∴BP=2AB=2×2=4．
由勾股定理，得．   （5分）

（2）如圖，連接OC、AC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，又∵∠ACP=180°-∠BCA=90°．
在Rt△APC中，D為AP的中點，
∴．
∴∠4=∠3．
又∵OC=OA，
∴∠1=∠2．
∵∠2+∠4=∠PAB=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．
即OC⊥CD．
∴直線CD是⊙O的切線．                                     （8分）
點評：此題考查了切線的判定和性質及解直角三角形等知識點，屬基礎題．