Question

如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過三個(gè)景點(diǎn)A、B、C，景區(qū)管委會(huì)又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D，經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向8km處，位于景點(diǎn)B的正北方向，還位于景點(diǎn)C的北偏西75°方向上，已知AB=5km。
（1）景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)D向公路a修建一條距離最短的公路，不考慮其它因素，求出這條公路的長(zhǎng)；（結(jié)果精確到0.1km）
（2）求景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離。（結(jié)果精確到1km）
（參考數(shù)據(jù)：=1.73，=2.24，sin53°=cos37°=0.80，sin37°=cos53°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=cos52°=0.62，sin52°=cos38°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73）

Answer 1

解：（1）如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥DB， 交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F， 在Rt△DAF中，∠ADF=30°， ∴AF=AD=×8=4， ∴， 在Rt△ABF中，， ∴BD=DF-BF=4-3，sin∠ABF=， 在Rt△DBE中，sin∠DBE=， ∵∠ABF=∠DBE， ∴sin∠DBE=， ∴DE=BD·sin∠DBE=（千米）， ∴景點(diǎn)D向公路a修建的這條公路的長(zhǎng)約是3.1km； （2）由題意可知∠CDB=75°， 由（1）可知sin∠DBE==0.8，所以∠DBE=53°， ∴∠DCB=180°-75°-53°=52°， 在Rt△DCE中，sin∠DCE=， ∴DC=≈4（km）， ∴景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離約為4km。