Question

設點E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，F是BC邊上一點，線段DE和AF相交于點P，點Q在線段DE上，且AQ∥PC．
（1）證明：PC=2AQ．
（2）當點F為BC的中點時，試比較△PFC和梯形APCQ面積的大小關系，并對你的結論加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長DE，CB，相交于點R，作BM∥PC，交DR于點M．根據題意得∠AQE=∠EMB，可證得△AEQ≌△BEM，△AED≌△BER．則AD=BR=BC，再根據BM∥PC，證出RBM∽△RCP，即可得出PC=2AQ．
（2）作BN∥AF，交RD于點N，則△RBN∽△RFP．則．還可證明△BNE≌△APE．根據相似三角形的性質得出S_△PFC=S_梯形APCQ．
解答：（1）證明：
證法一：延長DE，CB，相交于點R，作BM∥PC，交DR于點M．
∵AQ∥PC，BM∥PC，
∴MB∥AQ．
∴∠AQE=∠EMB
∵E是AB的中點，D、E、R三點共線，∴AE=EB，∠AEQ=∠BEM．
∴△AEQ≌△BEM．
∴AQ=BM．
同理△AED≌△BER．
∴AD=BR=BC．
∵BM∥PC，
∴△RBM∽△RCP，相似比是1：2．
∴PC=2MB=2AQ．

證法二：連接AC，交PQ于點K，易證△AKE∽△CKD，
∴．
∵AQ∥PC．
∴△AKQ∽△CKP．
∵，
∴，
即PC=2AQ．

（2）解：S_△PFC=S_梯形APCQ．
作BN∥AF，交RD于點N．
∴△RBN∽△RFP．
∵△RBM∽△RCP，相似比是1：2，
∴RB：RC=1：2，即B為RC的中點，
∴RB=BC，又F是BC的中點，
∴．
∴．
易證△BNE≌△APE．
∴AP=BN．
∴．
因PFC（視PC為底）與梯形APCQ的高的比等于△PFC與△PQC中PC邊上的高的比，
易知等于PF與AP的比，于是可設△PFC中PC邊上的高h₁=3k，梯形APCQ的高h₂=2k．再設AQ=a，則PC=2a．
∴，
．
因此S_△PFC=S_梯形APCQ．
點評：本題是一道綜合性很強的題目，考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質以及平行四邊形和梯形的性質，難度較大．