Question

24、先閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：
例1：1+ax+ax（1+ax）=（1+ax）（1+ax）
=（1+ax）²；
例2：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）²=（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）²
=（1+ax）²+ax（1+ax）²
=（1+ax）²（1+ax）
=（1+ax）³
（1）分解因式：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）²+…+ax（1+ax）ⁿ=

（1+ax）ⁿ⁺¹

；
（2）分解因式：x-1-x（x-1）+x（x-1）²-x（x-1）³+…-x（x-1）²⁰⁰³+x（x-1）²⁰⁰⁴
（答題要求：請將第（1）問的答案填寫在題中的橫線上）

Answer 1

分析：首先把式子整理，可知是將一個多項式進行因式分解，考慮運用分組分解法．
（1）可以把1+ax分成一組，看作一個整體，反復利用提公因式法就可求解．
（2）可以把x-1分成一組，看作一個整體，反復利用提公因式法就可求解．

解答：解：（1）1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）²+…+ax（1+ax）ⁿ，
=（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）^2+…+ax（1+ax）ⁿ，
=（1+ax）²+ax（1+ax）^2+…+ax（1+ax）ⁿ，
=（1+ax）²（1+ax）_+…+ax（1+ax）ⁿ，
=（1+ax）³_+…+ax（1+ax）ⁿ，
=（1-ax）^n（1+ax），
=（1+ax）ⁿ⁺¹；

（2）x-1-x（x-1）+x（x-1）²-x（x-1）³+…-x（x-1）²⁰⁰³+x（x-1）²⁰⁰⁴，
=（x-1）（1-x））+x（x-1）²-x（x-1）³+…-x（x-1）²⁰⁰³+x（x-1）²⁰⁰⁴，
=（x-1）²（-1+x）²-x（x-1）³+…-x（x-1）²⁰⁰³+x（x-1）²⁰⁰⁴，
=（x-1）²（1-x）+…-x（x-1）²⁰⁰³+x（x-1）²⁰⁰⁴，
=（x-1）²⁰⁰⁵．

點評：本題考查了分組分解法分解因式，關鍵是將原式轉化為（x-1）ⁿ的形式，解題時要有構造意識和想象力．