Question

如圖，小明將兩塊完全相同的直角三角形紙片的直角頂點C疊放在一起，若保持△BCD不動，將△ACE繞直角頂點C旋轉．

（1）如圖1，如果CD平分∠ACE，那么CE是否平分∠BCD？答：______（填寫“是”或“否”）；
（2）如圖1，若∠DCE=35°，則∠ACB=______°；若∠ACB=140°，則∠DCE=______°；
（3）當△ACE繞直角頂點C旋轉到如圖1的位置時，猜想∠ACB與∠DCE的數量關系為______；當△ACE繞直角頂點C旋轉到如圖2的位置時，上述關系是否依然成立，請說明理由；
（4）在圖1中，若∠BCE=∠D，請你猜想CE與BD的位置關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）是；

（2）145，40；
∵∠DCE=35°，
∴∠ACD=55°，
∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=90°+55°=145°；
同理，∠ACB=140°，∠ACD=∠ACB-∠DCB=50°，
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=40°；

（3）∠ACB+∠DCE=180°；
成立；
∵∠ACE+∠DCB=180°，
∴∠ACB+∠DCE=360°-（∠ACE+∠DCB）=180°；

（4）CE⊥BD．
∵∠BCE=∠D，∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠D+∠ECD=90°，
∴∠CFD=90°，
∴CE⊥BD．
分析：（1）CD平分∠ACE，那么可得∠DCE=45°，進而求得∠BCF是45°，那么CE平分∠BCD；
（2）由∠DCE=35°可先求出∠ACD=55°，再結合∠ACB=∠DCB+∠ACD，∠BCD=90°即可求解；
同理，由∠ACB=140°，可先求出∠ACD從而求出∠DCE．
（3）四個角組成一個周角，有2個角是90°，和為180°，那么，∠ACB+∠DCE=180°；
（4）易知∠D和∠B互余，∠BCE=∠D那么∠DCE和∠D互余，CE與BD垂直．
點評：注意直角三角形中直角的應用，以及隱含條件周角的度數為360°．