Question

（2010•番禺區一模）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點D是BC上一動點（不與B、C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉α后到達AE位置，連接DE、CE，設∠BCE=β．

（1）如圖1，若α=90°，求β的大小；
（2）如圖2，當點D在線段BC上運動時，試探究α與β之間的數量關系？并對你的結論給出證明；
（3）當點D在線段BC的反向延長線上運動時，（2）中的結論是否仍然成立？若成立，試加以證明，若不成立，試找出α與β之間的新關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用邊角邊定理證明△DAB與△EAC全等，再根據全等三角形的對應角相等得到∠ECA=∠B=45°，β的值即可求出；
（2）方法同（1）證出∠ECA=∠B，所以∠B+∠ACB=β，再根據三角形內角和定理即可得到α+β=180°；
（3）方法同（2）證出∠ECA=∠ABD，所以α+∠DCA=β+∠DCA，所以α=β．
解答：解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°．
∵∠DAB=α-∠DAC，∠EAC=α-∠DAC，
∴∠EAC=∠DAB．
又AB=AC，AD=AE，
∴△DAB≌△EAC．
∴∠ECA=∠B=45°．
∴β=∠ACB+ECA=90°．

（2）α+β=180°．
證明：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
又AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE．
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB=β．
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°．

（3）當點D在線段BC的反向延長線上運動時，（2）中的結論不能成立，此時：α=β成立．
其理由如下：
類似（2）可證∴△DAB≌△ECA，
∴∠DBA=∠ECA，
又由三角形外角性質有∠DBA=α+∠DCA，
而∠ACE=β+∠DCA，
∴α=β．
點評：本題主要考查三角形等腰三角形的性質及全等的判定和全等三角形的對應角相等，做題中，注意題中各角度之間的關系并靈活運用是解題的關鍵．