Question

如圖：已知在△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F．
（1）求證：△BED≌△CFD；
（2）若∠A=90°，求證：四邊形DFAE是正方形．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等腰三角形的性質，可得到∠B=∠C，D又是BC的中點，利用AAS，可證出：△BED≌△CFD．
（2）利用（1）的結論可知，DE=DF，再加上三個角都是直角，可證出四邊形DFAE是正方形．
解答：證明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．（1分）
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．（1分）
∵D是BC的中點，
∴BD=CD．（1分）
∴△BED≌△CFD．（1分）

（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°．
∵∠A=90°，
∴四邊形DFAE為矩形．（2分）
∵△BED≌△CFD，
∴DE=DF．
∴四邊形DFAE為正方形．（2分）
點評：本題利用了全等三角形的判定和性質以及矩形、正方形的判定．