Question

用適當的方法解下列方程：
（1）（x-3）²=24                
（2）x²+12x+27=0
（3）x²+6x=4                   
（4）4x²-45=31x
（5）2（x-3）² =3（x-3）
（6）（2x-5）²-（x+4）²=0．

Answer 1

分析：（1）利用平方根的定義開方轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（2）利用十字相乘法將方程左邊的多項式分解因式，利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（3）方程左右兩邊都加上9，左邊化為完全平方式，右邊合并為一個非負常數，開方轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（4）將方程整理為一般式，利用十字相乘法將左邊的多項式化為積的形式，利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（5）將方程右邊的式子整體移項到左邊，提取公因式化為積的形式，利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（6）利用平方差公式將方程左邊的多項式分解因式，利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．

解答：解：（1）（x-3）²=24，
開方得：x-3=±2

6

，
解得：x₁=3+2

6

，x₂=3-2

6

；
（2）x²+12x+27=0，
分解因式得：（x+3）（x+9）=0，
可得x+3=0或x+9=0，
解得：x₁=-3，x₂=-9；
（3）x²+6x=4，
配方得：x²+6x+9=13，即（x+3）²=13，
開方得：x=-3±

13

，
解得：x₁=-3+

13

，x₂=-3-

13

；
（4）4x²-45=31x，
整理得：4x²-31x-45=0，
分解因式得：（x-9）（4x+5）=0，
∴x₁=9，x₂=-

5

4

；
（5）2（x-3）² =3（x-3），
移項得：2（x-3）² -3（x-3）=0，
分解因式得：（x-3）（2x-9）=0，
可得x-3=0或2x-9=0，
解得：x₁=3，x₂=

9

2

；
（6）（2x-5）²-（x+4）²=0，
分解因式得：[（2x-5）+（x+4）][（2x-5）-（x+4）]=0，
即（3x-1）（x-9）=0，
可得3x-1=0或x-9=0，
解得：x₁=

1

3

，x₂=9．

點評：此題考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程時，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解．