Question

某課題學習小組在一次活動中對三角形的內接正方形的有關問題進行了探討：
定義：如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上，那么我們就把這個正方形叫做三角形的內接正方形．
結論：在探討過程中，有三位同學得出如下結果：
甲同學：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在______個、______個、______個大小不同的內接正方形．
乙同學：在直角三角形中，兩個頂點都在斜邊上的內接正方形的面積較大．
任務：（1）填充甲同學結論中的數據；
（2）乙同學的結果正確嗎？若不正確，請舉出一個反例并通過計算給予說明，若正確，請給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別畫一下即可得出答案；
（2）先判斷，再舉一個例子；例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，則AC=．
解答：解：（1）1，2，3．…（3分）


（2）乙同學的結果不正確．
例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，則，
如圖①，四邊形DEFB是只有一個頂點在斜邊上的內接正方形，
設它的邊長為a，則依題意可得：，
解得：．
如圖②，四邊形DEFH兩個頂點都在斜邊上的內接正方形，
設它的邊長為b，則依題意可得：，
解得：
∵a＞b，
∴乙同學的結果不正確．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質以及正方形的性質，舉出例子是解此題的關鍵，本題難度較大，注意第一題可以動手畫一下．