Question

如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），設BE=m，CD=n．
（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明；
（2）求m與n的函數關系式，直接寫出自變量n的取值范圍；
（3）以△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖2）．在邊BC上找一點D，使BD=CE，求出D點的坐標，并通過計算驗證BD²+CE²=DE²；
（4）在旋轉過程中，（3）中的等量關系BD²+CE²=DE²是否始終成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知及相似三角形的判定方法進行分析即可；
（2）可根據（1）中的相似三角形BAE和CDA得出關于AB，BE，CD，AC的比例關系，AB，AC可通過等腰直角三角形求出，因此根據比例關系即可得出m，n的函數關系式．
（3）根據（2）的函數關系式，即可求出BE，CD的長，從而也就能求出OD，OE，DE，BD，CE的長，那么可通過計算得出本題的結論．
（4）根據旋轉角，我們知道HB⊥BD，那么DH²=BH²+BD²，而BH=CE，于是關鍵是證明HD=DE，連接AH，DH那么可通過證三角形AHD和ADE全等來求解．
解答：解：（1）可得△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA．
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA．
又∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴△ABE∽△DCA．

（2）∵△ABE∽△DCA，
∴．
由依題意可知CA=BA=．
∴．
∴m=．
自變量n的取值范圍為1＜n＜2．

（3）由BD=CE可得BE=CD，即m=n，
∵m=，
∴m=n=．
∵OB=OC=BC=1，
∴OE=OD=-1．
∴D（1-，0）．
∴BD=OB-OD=1-（-1）=2-=CE．
DE=BC-2BD=2-2（2-）=2-2．
∵BD²+CE²=2BD²=2（2-）²=12-8，DE²=（2-2）²=12-8，
∴BD²+CE²=DE²．

（4）等量關系BD²+CE²=DE²成立．理由如下：
證明：如圖，將△ACE繞點A順時針旋轉90°至△ABH的位置，則CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋轉角∠EAH=90°．
連接HD，在△EAD和△HAD中．
∵，
∴△EAD≌△HAD．
∴DE=DH．
∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD²+HB²=DH²．
∴BD²+CE²=DE²．
點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質，相似三角形和全等三角形的判定和性質等知識點的綜合運用．根據相似三角形或全等三角形得出線段成比例或相等是解題的關鍵．