Question

問題探究：
（1）如圖①所示是一個半徑為，高為4的圓柱體和它的側面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點出發沿圓柱的側面爬行一周到達B點，求螞蟻爬行的最短路程；（探究思路：將圓柱的側面沿母線AB剪開，它的側面展開圖如圖①中的矩形ABB′A′，則螞蟻爬行的最短路程即為線段AB′的長）；
（2）如圖②所示是一個底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點出發沿圓錐的側面爬行一周后回到A點，求螞蟻爬行的最短路程；
（3）如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點出發沿圓錐的側面爬行一周到達母線PA上的一點，求螞蟻爬行的最短路程。

Answer 1

解：（1）易知 即螞蟻爬行的最短路程為5；
（2）連結AA′，則AA′的長為螞蟻爬行的最短路程，設為圓錐底面半徑，為側面展開圖（扇形）的半徑，則，由題意得： 即， ∴ ∴是等邊三角形， ∴最短路程為；
（3）如圖③所示是圓錐的側面展開圖，過A作AC⊥PA′于點C，則線段AC的長就是螞蟻爬行的最短路程， ∴ ∴螞蟻爬行的最短距離為。