Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，點M是AB上的動點（不與A，B重合），過點M作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN，令AM=x．
（1）用含x的代數式表示△MNP的面積S；
（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切？

Answer 1

解：（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴，即．
∴AN=x．
∴S=S_△MNP=S_△AMN=•x•x=x²．（0＜x＜4）

（2）如圖，設直線BC與⊙O相切于點D，連接AO，OD．
AO=OD=MN．
在Rt△ABC中，BC==5．
由（1）知△AMN∽△ABC．
∴，即．
∴MN=．
∴OD=．
過點M作MQ⊥BC于Q，則MQ=OD=．
在Rt△BMQ與Rt△BAC中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA．
∴，即=．
解得BM=x．
AB=BM+AM=x+x=4．
解得x=，即當x=時，⊙O與BC相切．
分析：（1）由△AMN∽△ABC得出AN，又S_△AMN=S_△MNP，求得△AMN的面積即可．
（2）設直線BC與⊙O相切于點D，連接AO，OD，并過點M作MQ⊥BC于Q，由（1）中△AMN∽△ABC得，則求得MN、OD，再證△BMQ∽△BCA，得，代入求得x的值．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質及切線的性質，綜合性較強，難度較大．