Question

畫一個邊長為1的等邊三角形（如圖1），將它的邊長三等分，各取中間的一段，并以此為邊分別在原三角形外作3個小等邊三角形，得圖2，稱為第一次分形．同樣地，把圖2中的6個小等邊三角形的每一邊三等分，以中間一段為邊向形外分別作12個更小的等邊三角形如圖3，稱為第二次分形，依上述方法不斷畫下去，這個圖形的外緣曲線越來越細，像一片美麗的雪花，所得圖形稱為雪花曲線：
問題：
（1）就對稱性而言，圖4是

 

圖形．
A、中心對稱圖形；B、軸對稱圖形；C、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形．
（2）圖2的周長是

 

．
（3）猜想第n次分形后所得圖形的周長是

 

．
（4）猜想隨分形次數n的逐漸增大，所得圖形的面積將越來越接近于什么圖形的面積？

Answer 1

分析：（1）根據圖形變化規律，圖4仍然關于原三角形的對稱軸成軸對稱，關于對稱軸心成中心對稱；
（2）分形后，三角形的邊長增加

1

3

，變為原來的

4

3

，再乘以3就是周長；
（3）每一次分形后，邊長都變為原來的

4

3

，第n次分形后邊長就變為原來的(

4

3

)n倍，再乘以3就是周長；
（4）n次分形后，圖2的頂點之間的空白逐漸被填充，所以其面積越來越接近于原三角形外接圓的面積．

解答：解：（1）根據圖形分形規律，其對稱性與原等邊三角形的對稱性相同．故選C．

（2）根據題意，邊長為

1

3

×4=

4

3

，
∴周長為

4

3

×3=4；

（3）n次分形，邊長變為原來的(

4

3

)n，
∴周長為3×（

4

3

)n×1=3×（

4

3

)n；

（4）原三角形外接圓的面積．

點評：本題是信息給予題，讀懂題目信息并靈活運用等邊三角形的性質是解題的關鍵．