Question

拋物線y₁=ax²+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線x=1，且A、C兩點的坐標分別為A（-1，0）、C（0，-3）．
（1）求拋物線y₁=ax²+bx+c和直線BC：y₂=mx+n的解析式；
（2）當y₁•y₂≥0時，直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的對稱軸為直線x=1，且A點的坐標為A（-1，0），于是求出B點的坐標，利用待定系數法求出拋物線的解析式，已知B、C兩點的坐標，即可求出y₂=mx+n的解析式；
（2）根據圖象找出拋物線y₁=ax²+bx+c和直線BC：y₂=mx+n圖象在同一象限的部分的x的取值范圍．

解答：解：（1）∵拋物線y₁=ax²+bx+c的對稱軸為x=1，且A點的坐標為A（-1，0），
∵A、B兩點關于x=1對稱，
∴B點坐標為（3，1），
∵拋物線y₁=ax²+bx+c經過A（-1，0）、B（3，0），C（0，-3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得a=1，b=-2，c=-3，
∴拋物線的解析式為y₁=x²-2x-3；
直線y₂=mx+n經過B（3，0），C（0，-3），
∴

0=3m+n n=-3

，
解得m=1，n=-3，
故直線解析式為y₂=x-3；

（2）連接BC，
若y₁•y₂≥0，
則拋物線y₁=ax²+bx+c和直線BC：y₂=mx+n圖象在同一象限，
由圖象可以看出當x＜-1時，y₁＞0，y₂＜0，
當x≥-1，y₁•y₂≥0，
即當y₁•y₂≥0時，x的取值范圍為x≥-1．

點評：本題主要考查二次函數的綜合題的知識點，解答本題的關鍵熟練利用拋物線的對稱性求出B點的坐標，此題難度不大，第2問結合圖形很容易解答．