Question

請閱讀下列材料：
問題：如圖（1），一圓柱的底面半徑、高均為5dcm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點出發沿圓柱表面爬行到點C的最短路線，小明設計了兩條路線：
路線1：側面展開圖中的線段AC，如下圖（2）所示：

設路線1的長度為l₁，則l₁²=AC²=AB²+BC²=5²+（5π）²=25+25π²
路線2：高線AB+底面直徑BC，如上圖（1）所示：
設路線2的長度為l₂，則l₂²=（AB+BC）²=（5+10）²=225
∴l₁²-l₂²=25+25π²-225=25π²-200=25（π²-8）＞0
∴l₁²＞l₂²
∴l₁＞l₂
所以要選擇路線2較短。
（1）小明對上述結論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1dcm，高AB為5dcm”繼續按前面的路線進行計算．請你幫小明完成下面的計算：
路線1：l₁²=AC²=________；
路線2：l₂²=（AB+BC）²=_______
∵l₁²______l₂²
∴l₁_____l₂（填＞或＜）,
∴選擇路線____（填1或2）較短；
（2）請你幫小明繼續研究：在一般情況下，當圓柱的底面半徑為r，高為h時，應如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發沿圓柱表面爬行到C點的路線最短。

Answer 1

解：（1）路線1：l₁²=AC²=25+π²；
路線2：l₂²=（AB+BC）²=49，
∵l₁²＜l₂²，
∴l₁＜l₂，
∴選擇路線1較短；
（2）l₁²=AC²=AB²+BC²=h²+（πr）²，
l₂²=（AB+BC）²=（h+2r）²，
l₁²-l₂²=h₂+（πr）²-（h+2r）²=r（π²r-4r-4h）=r[（π²-4）r-4h]；
r恒大于0，只需看后面的式子即可，
當時，l₁²=l₂²；
當r＞時，l₁²＞l₂²；
當r＜時，l₁²＜l₂²。