【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，點O在AC上，以OA為半徑的⊙O交AB于點D，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求線段DE的長．
【答案】
（1）解：直線DE與⊙O相切，理由如下：
連接OD，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分線，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，
∴直線DE與⊙O相切
（2）解：連接OE，
設DE=x，則EB=ED=x，CE=8﹣x，
∵∠C=∠ODE=90°，
∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
則DE=4.75
【解析】（1）連接OD，利用垂直平分線的性質得到EB=ED，再利用等邊對等角的性質得到∠B=∠EDB，∠A=∠ODA，然后利用等量代換得到OD⊥DE.
（2）設DE=x，在直角三角形OCE中列勾股定理方程，其中OE的長度的平方利用OE2=OD2+DE2替代，從而可以列出關于x的等式.
備戰中考寒假系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在△ABC 中，點 D 是邊 BC 上的點（與 B、C 兩點不重合），過點 D作 DE∥AC，DF∥AB，分別交 AB、AC 于 E、F 兩點，下列說法正確的是（ ）
A. 若 AD 平分∠BAC，則四邊形 AEDF 是菱形
B. 若 BD＝CD，則四邊形 AEDF 是菱形
C. 若 AD 垂直平分 BC，則四邊形 AEDF 是矩形
D. 若 AD⊥BC，則四邊形 AEDF 是矩形
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【題目】定義：對于任何數a，符號[a]表示不大于a的最大整數．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-1.5]=-2．
（1）[-π]= ；
（2）如果[a]=2，那么a的取值范圍是 ；
（3）如果[
]=-5，求滿足條件的所有整數x；
（4）直接寫出方程6x-3[x]+7=0的解．
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【題目】我市某中學計劃購進若干個甲種規格的排球和乙種規格的足球． 如果購買20個甲種規格的排球和15個乙種規格的足球，一共需要花費2050元； 如果購買10個甲種規格的排球和20個乙種規格的足球，一共需要花費1900元．
（1）求每個甲種規格的排球和每個乙種規格的足球的價格分別是多少元?
（2）如果學校要購買甲種規格的排球和乙種規格的足球共50個，并且預算總費用不超過3210元，那么該學校至多能購買多少個乙種規格的足球?
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【題目】請把下面證明過程補充完整
如圖，已知AD⊥BC于D，點E在BA的延長線上，EG⊥BC于C，交AC于點F，∠E＝∠1．求證：AD平分∠BAC．
證明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（ ），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ ），
∴AD∥EG（ ），
∴∠1＝∠2（ ），
∴_____＝∠3（ ），
又∵∠E＝∠1（已知），∴∠2＝∠3（ ），
∴AD平分∠BAC（ ）
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【題目】用1塊A型鋼板可制成1塊C型鋼板、3塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成2塊C型鋼板、1塊D型鋼板．
（1）現需150塊C型鋼板、180塊D型鋼板，則怡好用A型、B型鋼板各多少塊？
（2）若A、B型鋼板共100塊，現需C型鋼板至多150塊，D型鋼板不超過204塊，共有幾種方案？
（3）若需C型鋼板80塊，D型鋼板不多于45塊（A型、B型鋼板都要使用）．求A、B型鋼板各需多少塊？
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【題目】將一個直角三角形紙片
放置在平面直角坐標系中，
是坐標原點，點
坐標為
，點
坐標為
，
，點
是邊
上一點(點不與點，點重合)，沿
折疊該紙片，點的對應點為點
，連接
．
（1）如圖1，當點在第一象限，且
時，求點的坐標；
（2）如圖2，當點為的中點時；
①求證：
；
②直接寫出四邊形
的面積；
（3）當
時，直接寫出點的坐標．
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