Question

【題目】如圖1，兩個完全相同的三角形紙片和重合放置，其中，．

（1）操作發現：如圖2，固定，使繞點旋轉，當點恰好落在邊上時，填空：①線段與的位置關系是________；②設的面積為，的面積為，則與的數量關系是_____．

（2）猜想論證：當繞點旋轉到如圖3所示的位置時，請猜想（1）中與的數量關系是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（3）拓展探究：已知，平分，，，交于點（如圖4）．若在射線上存在點，使，請求相應的的長．

Answer 1

【答案】（1）DE∥AC；S1=S2；（2）成立，證明見解析；（3）BF的長為3或6．

【解析】

（1）①根據旋轉的性質可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠ACD=60°，然后根據內錯角相等，兩直線平行解答；
②根據等邊三角形的性質可得AC=AD，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據等底等高的三角形的面積相等解答；
（2）根據旋轉的性質可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；
（3）過點D作DF1∥BE，求出四邊形BEDF1是菱形，根據菱形的對邊相等可得BE=DF1，然后根據等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點，過點D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，從而得到△DF1F2是等邊三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等，根據全等三角形的面積相等可得點F2也是所求的點，然后勾股定理求出EG的長，即可得解

（1）①∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
故答案為：DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=AB，
∴BD=AD=AC，
根據等邊三角形的性質，△ACD的邊AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S1=S2；
故答案為：S1=S2；
（2）如圖，過點D作DM⊥BC于M，過點A作AN⊥CE交EC的延長線于N

，
∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，

，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S1=S2；
（3）如圖，過點D作DF1∥BE，易求四邊形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
此時S△DCF1=S△BDE；
過點D作DF2⊥BD，

∵∠ABC=60°，F1D∥BE，
∴∠F2F1D=∠ABC=60°，
∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，
∴∠F1DF2=∠ABC=60°，
∴△DF1F2是等邊三角形，
∴DF1=DF2，過點D作DG⊥BC于G，
∵BD=CD，∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，BG=BC= ，
∴BD=3
∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF2=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，

，
∴△CDF1≌△CDF2（SAS），
∴點F2也是所求的點，
∵∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，

∴∠CDE=360°-∠CDF2-∠F2DB-DBE=360°-150°-90°-30°=90°，

∴∠CDG=90°-∠DCG=60°，
又∵BD=CD=3，

∴DG= ，

設EG為x，則DE=2x,

,

解得x=1.5,
∴BE=BG-EG=4.5-1.5 =3，
∴BF1=3，BF2=BF1+F1F2=3+3=6，
故BF的長為3或6．