Question

【題目】如圖，四邊形ACBD是⊙O的內接四邊形，AB為直徑，弧CD=弧AD，DE⊥BC，垂足為E．

（1）求證：BD平分∠ABE；

（2）判斷直線ED與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）若BE=2，AB=8，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）直線DE與圓O相切，理由見解析；（3）陰影部分的面積=π-．

【解析】

（1）根據圓周角定理，由弧CD=弧AD，得到∠CAD=∠ABD，再根據圓內接四邊形的性質得∠DBE=∠CAD，所以∠ABD=∠DBE；

（2）連結OD，如圖，利用內錯角相等證明OD∥CE，而DE⊥BC，則OD⊥DE，于是根據切線的判定定理可得DE為⊙O的切線；

（3）利用扇形面積公式、等邊三角形的面積公式和陰影部分的面積解答即可．

證明：（1）∵弧CD=弧AD，

∴∠CAD=∠ABD，

∵∠DBE=∠CAD，

∴∠ABD=∠DBE．

即BD平分∠ABE

（2）直線DE與圓O相切，理由如下：

連結OD，OC，如圖，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

而∠OBD=∠DBE，

∴∠ODB=∠DBE，

∴OD∥CE，

∵DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線

（3）作OH⊥BC于H，則四邊形ODEH為矩形，

∴OD=EH，

∵BE=2，AB=8，

∴OB=OD=BD=4，

∴在Rt△DBE中，∠BDE=30°，

∴DE=2，

∴陰影部分的面積=π-．