Question

如圖，在坐標系xOy中，已知D（﹣5，4），B（﹣3，0），過D點分別作DA、DC垂直于x軸，y軸，垂足分別為A、C兩點，動點P從O點出發，沿x軸以每秒1個單位長度的速度向右運動，運動時間為t秒．

（1）當t為何值時，PC∥DB；
（2）當t為何值時，PC⊥BC；
（3）以點P為圓心，PO的長為半徑的⊙P隨點P的運動而變化，當⊙P與△BCD的邊（或邊所在的直線）相切時，求t的值．

Answer 1

解：（1）∵D（﹣5，4），B（﹣3，0），過D點分別作DA、DC垂直于x軸，y軸，垂足分別為A、C兩點，
∴DC=5，OC=4，OB=3，
∵DC⊥y軸，x軸⊥y軸，∴DC∥BP。
∵PC∥DC，∴四邊形DBPC是平行四邊形。
∴DC=BP=5。∴OP=5﹣3=2。
∵2÷1=2，∴當t為2秒時，PC∥BD。
（2）∵PC⊥BC，x軸⊥y軸，∴∠COP=∠COB=∠BCP=90。
∴∠PCO+∠BCO=90°，∠CPO+∠PCO=90°。∴∠CPO=∠BCO。
∴△PCO∽△CBO。∴，即，解得。
∵÷1=，∴當t為秒時，PC⊥BC。
（3）設⊙P的半徑是R，分為三種情況：
①當⊙P與直線DC相切時，
如圖1，過P作PM⊥DC交DC延長線于M，

則PM=OC=4=OP，
∵4÷1=4，∴t=4秒。
②如圖2，當⊙P與BC相切時，

∵∠BOC=90°，BO=3，OC=4，∴由勾股定理得：BC=5。
∵∠PMB=∠COB=90°，∠CBO=∠PBM，∴△COB∽△PBM。
∴，即，解得R=12。
∵12÷1=12，∴t=12秒。
③如圖3，當⊙P與DB相切時，

根據勾股定理得：，
∵∠PMB=∠DAB=90°，∠ABD=∠PBM
∴△ADB∽△MPB。
∴，即，解得。
∵（）÷1=，∴t秒。
綜上所述，當⊙P與△BCD的邊（或邊所在的直線）相切時，t=4秒或12秒或t=秒。

（1）過D點分別作DA、DC垂直于x軸，y軸，垂足分別為A、C兩點，求出DC=5，OC=4，OB=3，根據四邊形DBPC是平行四邊形求出DC=BP=5，求出OP=2即可。
（2）證△PCO∽△CBO，得出，求出即可。
（3）設⊙P的半徑是R，分為①當⊙P與直線DC相切時，②當⊙P與BC相切時，③當⊙P與DB相切時三種情況討論即可。