Question

如圖，在平面直角坐標系，直線與x軸、y軸分別相交于A、D兩點，點B在y軸上，現將△AOB沿AB翻折180°，使點O剛好落在直線AD的點C處．
（1）求BD的長．
（2）設點N是線段AD上的一個動點（與點A、D不重合），S_△NBD=S₁，S_△NOA=S₂，當點N運動到什么位置時，S₁S₂的值等于90，并求出此時點N的坐標．
（3）在y軸上是否存在點M，使△MAC為直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，簡述理由．

Answer 1

解：（1）∵令y=0，得x=6；
令x=0，得y=8．
∴A（6，0），D（0，8）．
∴AD===10，
∵將△AOB沿AB翻折180°，使點O剛好落在直線AD的點C處，
∴AC=AO=6，DC=AD﹣AC=10﹣6=4．
∵∠D=∠D，∠DCB=∠O=90°，
∴△DBC∽△DAO．
∴DC：DO=DB：DA，即4：8=DB：10，
∴DB=5；
（2）如圖1，設N（x，y）．


解得x=3，
則y=﹣（x﹣6）=4，
∴N（3，4）；
（3）如圖2，∵△MAC為直角三角形，
∴∠MCA=90°或∠MAC=90°．
若∠MCA=90°，則M與B重合，
∵BD=5，∴M（0，3）；
若∠MAC=90°，則△AMD∽△OAD，
∴DM：AD=AD：OD，
∴DM：10=10：8．
∴DM=12.5，OM=12.5﹣8=4.5，
∴M（0，﹣4.5），
綜上所述，M點的坐標為M₁（0，3），M₂（0，﹣4.5）．